Стр. 2-15 Лекция 2. Взаимосвязь различных форм представления математических моделей. Автор: Котов Е.А.

Взаимосвязь различных форм представления математических моделей

При разработке математических моделей (ММ) часто возникает необходимость перехода от одной формы математического представления систем к другой, в частности, эту задачу приходится решать при завершающей стадии, когда модель ограничивается рамками используемого программного обеспечения. Эта операция имеет свои особенности и ее успешное завершение требует определенных навыков.

Ранее было отмечено, что ММ динамических систем (в том числе РТС и их элементов) могут быть представлены уравнениями состояния, передаточными функциями и в графо-аналитическом виде (структурно-функциональные схемы).

Рассмотрим возможные случаи перехода от одной формы к другой.

ММ задана в виде уравнений состояния.

Структурная схема в общем виде представляется следующим образом:

Для линейной системы:

Пример № 1.

На основании приведенных выше уравнений может быть составлена следующая структурная схема:

Это ММ упругой механической передачи, учитывающей диссипативные потери и силовой люфт.

u - угол поворота входного вала

x1 - угол поворота выходного вала (выходная координата)

Z - угол закрутки (упругая деформация)

В результате простых структурных преобразований получим:

что соответствует привычному представлению.

J - момент инерции

С - коэффициент упругости

χ - коэффициент потерь на упругие деформации.

Пример № 2 (для линейных систем).

В приведенных примерах взаимосвязь X и X решается через операцию интегрирования, возможно решение и через операцию дифференцирования:

Но такой переход к структурной схеме не является желательным. Операция “идеального” дифференцирования не может быть точно решена численными методами

/Точно так же не используется (и не реализуется) звено “чистого” дифференцирования в реальных САУ (пример с помехой)/.

Чтобы быстро и правильно перейти от уравнений состояния к структурной схеме, следует начинать с интеграторов, причем, их должно быть столько, каков порядок системы, и далее, в соответствии с уравнениями организовать необходимые связи. Элементы структурных схем следует выбирать такими, которые в используемом программном обеспечении реализуются более эффективными алгоритмами, например

Рассмотрим переход от описания линейной системы во временной области к описанию в частотной.

Необходимо определить матричную передаточную функцию W(s), связывающую вектор u с вектором выхода Y в соответствии с уравнениями.

Из первого уравнения выразим Х и подставим во второе:

X=(Es-A)-1ВU

Y=[C(Es-A)-1В+D]U, Е - единичная матрица.

Выражение W(s)=C(Es-A)-1B+D и определяет матричную передаточную функцию.

Основная проблема ее вычисления заключается в необходимости обращения матрицы (Es-A). Для этой операции существует ряд алгоритмов, один из которых (алгоритм Леверье) приведен ниже:

Коэффициенты характеристического полинома ai и матрицы Ri вычисляются следующим образом:

/*Проверка правильности вычислений R0≡0./

В некоторых случаях эту задачу можно решить более простыми методами, например,

Определим , для этого из второго уравнения выразим x2 и подставим в первое, выполнив предварительно преобразование Лапласа для каждого из уравнений.

W(s) - скалярная величина, т.к. в системе один вход и один выход/

ММ задана в виде передаточной функции.

В случае, если рассматривается ММ с несколькими входами и несколькими выходами (многосвязная система), в основе перехода от описания системы в частотной области к ее описанию во временной лежит задача нахождения матриц А, В, С, D по известной матричной передаточной функции W(s). Но решение этой задачи не является однозначным. Действительно, если рассмотреть матрицы определяемые следующим образом:

где Q(nxn) – произвольная невырожденная матрица;

то

(Здесь использовано правило обращения произведения матриц: )

Таким образом получено точно такое же выражение для W(s), но матрицы определяют уже другую математическую модель.

Матрицы А, В, С, D должны определяться из условия реализации W(s) наименьшего возможного порядка, что означает исключение одинаковых пулей и полюсов из элементов W(s).

На практике часто переход от передаточной функции к записи уравнений во временной области сводится к задаче с одним входом и одним выходом

Если имеются одинаковые корни числителя и знаменателя, то порядки (n; m) понижаются.

Дифференциальное уравнение “n”-ой степени имеет вид:

В процессе моделирования является нежелательным вычисление производных от входного сигнала U(t), поскольку они не всегда могут существовать, поэтому такой переход к уравнениям может быть использован корректно при условии bi=0, i=1,...,m.

Рассмотрим универсальный переход от передаточной функции к структурной схеме и к уравнениям состояния.

На основании последнего выражения представим структурную схему:

В прямой цепи “n”интеграторов.

Естественно, полученная структурная схема не является единственной реализацией передаточной функции, поскольку любые структурные преобразования приводят к другим схемам.

Чтобы перейти к уравнениям состояния, выход “i”-го интегратора на схеме обозначим через хi, и запишем систему уравнений.

Математическая модель задана в виде структурной схемы.

Переход к уравнениям состояния проиллюстрируем на следующем примере: